DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Se determina en un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, estén en la relación r:

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Consideramos como el proceso de “Dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el suso dicho (Segmento) dado entre dos puntos (XY), de tal manera que las dos partes PX y PY constituyen a la razón dada.

Todo ello, en el caso de una sola posición, pues la cantidad de partes que constituyen la razón se encuentra íntimamente ligada con la cantidad de puntos dentro del segmento.

BARICENTRO, ORTOCENTRO Y CIRCUNCENTRO

Baricentro

En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta. En física, el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.

El baricentro o eje de masas de un segmento {A, B} se encuentra en el centro [A;B].

El baricentro de un triángulo de vértices {A, B, C} se encuentra en la intersección de las tres medianas del triángulo. En ese mismo punto se encuentra también el baricentro de la superficie del triángulo [ABC]

El baricentro de un tetraedro de vértices {A, B, C, D} es el centro de masas, si su densidad es uniforme. Corresponde al punto donde se cortan los segmentos que unen cada vértice con el isobaricentro de la cara opuesta.

Se puede generalizar lo anterior en cualquier dimensión.

La coincidencia del baricentro y el centro de masa permite localizar el primero de una forma sencilla. Si tomamos una superficie recortada en una cartulina y la sujetamos verticalmente desde cualquiera de sus puntos, girará hasta que el centro de gravedad (baricentro) se sitúe justamente en la vertical del punto de sujeción; marcando dicha vertical sobre la cartulina y repitiendo el proceso sujetando desde un segundo punto, encontraremos el baricentro en el punto de intersección.

El baricentro G de (A, a) y (B, b) con a y b cualesquiera, está ubicado en la recta (AB). Si a y b son ambos positivos, G pertenece al segmento [A,B]. En este caso los coeficientes a y b se pueden leer en el gráfico. Por ejemplo:

Y por lo tanto G = bar{ (A, 7), (B, 5) }. Basta pues con permutar las longitudes del gráfico para obtener las masas de los puntos.

El baricentro G de tres puntos del espacio (A, a), (B, b) y (C, c) con a, b y c cualesquiera está ubicado en el plano (ABC). Si son todos positivos, G pertenece al triángulo ABC. Por supuesto, estas propiedades se generalizan a todas las dimensiones.

• Baricentro

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:

• Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. Puede verse el circuncentro de un triángulo en la siguiente imagen:

• Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:

ALTURA Y MEDIANA DE UN TRIANGULO

ALTURA DE UN TRIANGULO

En un triángulo la altura respecto de un lado, es el segmento que va desde el pie de la perpendicular a dicho lado o a su prolongación hasta el vértice opuesto a dicho lado. La intersección de la altura y el lado opuesto o prolongación en su caso es lo que se denomina «pie» de la altura.

La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, siendo su valor: a = b·h/2, donde a es el área, b la base –la longitud del lado "inferior"–, y h su altura correspondiente.

Ésta fórmula se puede demostrar, geométricamente, trazando un rectángulo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base y la misma altura.

Características y propiedades de las alturas del triángulo: En todo triángulo:

• al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo;
• la altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del triángulo;
• las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo;

MEDIANA DE UN TRIANGULO

En geometría las medianas de un triángulo son, cada una de las tres semirectas que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Las medianas tienen las siguientes propiedades:

• Cada mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
• Las tres medianas se intersecan en el baricentro, centro de gravedad del triángulo o centroide, marcado como G en la figura.
• Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
• Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales^[1] ).
• Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILATEROS

CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS

La forma más habitual de clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados. Según este criterio los  cuadriláteros pueden ser:

1.- PARALELOGRAMO

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos. Propiedades:           Los lados opuestos son iguales.           Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.           Las diagonales se cortan en el punto medio.

Un  paralelogramo puede ser:

a.- Rectángulo. Tiene los ángulos rectos.	b.- Rombo. Tiene los  lados iguales.
Las diagonales del rectángulo son iguales	Las diagonales del rombo son perpendiculares.

Cuadrado es el paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez.

Un cuadrado tiene los lados iguales y además sus ángulos son rectos.

El cuadrado tiene las diagonales iguales (por ser rectángulo) y perpendiculares (por ser rombo)

Suele llamarse romboide**  al paralelogramo que no es ni rectángulo ni rombo, esto es, un paralelogramo sin ninguna propiedad más.

** En algunos libros  con la palabra romboide se refieren a cuadriláteros que tienen dos pares de lados consecutivos iguales. Estos cuadriláteros  también son conocidos como cometas y deltoides.

2.- TRAPECIO

El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, y los otros dos no son paralelos.        Los lados paralelos se denominan Base mayor y base menor.        La distancia entre los lados paralelos se llama altura.

a.-Trapecio Isósceles, si los lados no paralelos son iguales.	b.-Trapecio rectángulo si tiene dos ángulos rectos.
Los ángulos que se forman sobre cada uno de los lados paralelos son iguales.

3.- TRAPEZOIDE. 

Se denomina trapezoide a un cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Por tanto es un cuadrilátero sin más propiedades adicionales.

Existe un tipo de trapezoide especialmente interesante.

Se llama  cometa al cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales.        Las diagonales son perpendiculares.        Un par de ángulos opuestos son iguales. Mueve los vértices y puedes conseguir que el ángulo D sea mayor de 180º, en este caso suele llamarse deltoide al cuadrilátero que se forma.

DISTANCIA ENTRE LOS LADOS DE UN POLIGONO

El polígono es una figura plana cerrada formada por mas de dos lados. El triangulo es el polígono mas sencillo.

-Clasificación de los polígonos por sus lados.

º Triangulo (tres lados)
º Cuadrilátero (cuatro lados)
º Pentágono (cinco lados)
º Hexágono (seis lados)
º Heptágono (siete lados)
º Octágono (ocho lados)
º Eneágono (nueve lados)
º Decágono (diez lados)
º Undecágono (once lados)
º Dodecágono (doce lados)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia mas corta entre dos puntos es la linea recta.

Una linea recta es indefinida, cuando se delimita una sección de una linea se llama segmento de una recta.

"La distancia de dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas mas el cuadrado de la diferencia de las ordenadas."

^{d=√(x2-x1)2+(y2-y1)2}

MAPA DE LINEA

LINEA Y TIPOS DE LINEAS

Una línea es una sucesión continua de puntos trazados, como por ejemplo un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular.

En geometría, la línea también puede considerarse la distancia más corta entre dos puntos puestos en un plano.La línea es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los sumamente utilizados. Representa la forma de expresión más sencilla y pura, que a la vez puede ser dinámica y variada.

TIPOS DE LINEA

Línea Recta: Son todas aquellas líneas en que todos sus puntos van en una misma dirección. 

Línea Curva: Son las líneas que están constituidas en forma curva; pero a su vez sus puntos van en direcciones diferentes.

Línea Quebrada: Esta línea está formada por diferentes rectas a su vez que se cortan entre sí y llevan direcciones diferentes. 

Línea Mixta: Está formada por líneas rectas y curvas que a su vez llevan direcciones diferentes.

Líneas Poligonal: poligonales, son las que se forman por segmentos o trozos de rectas. Es la línea recta que cambia de dirección.

El Plano Cartesiano

El plano cartesiano es una aportación de un filosofo y matemático llamado Rene Descartes.

Mediante el podemos ubicar con exactitud no solo puntos que forman a una ecuación  se pueden localizar direcciones, aviones, vehículos en movimiento, etc.

Perímetro de un polígono (geometría analítica) - HD

Este es el complemento del video anterior, es muy bueno ya que ademas de utilizar solo un triangulo nos enseña como calcular el perimetro de un cuadrilatero.

Perímetro de un polígono - PARTE 1/2

Un excelene video para aprender como calcular el perimetro de una figura en un plano cartesiano.

Distancia entre dos puntos 2 - HD

Otro video muy bueno para aprender a calcular la distancia entre dos puntos, ademas de que atraves de este video podras calcular la distancia de dos puntos en tres diferentes circunsatancias.

Distancia entre dos puntos.mp4

Es un excelente video para aprender como calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano

Historia de la Geometria Analitica

Geometría Analítica para ti

Es un excelente video si queremos aprender más acerca de la geometria analitica ademas de que podremos comprender mejor que es lo que tratamos de estudiar en esta materia.

Plano Cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativa esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Rene Descartes

Nacio en La Haye, Francia en el año 1596 y murio en Estocolmo, Suecia en el año 1650.

Fue un filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche donde gozó de un trato de favor en atención a su delicada salud. A los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau.

En 1619 René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método. En 1628 decidió instalarse en los Países Bajos lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí hasta 1649.

Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente.  En 1637 apareció su famoso Discurso del método, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Este principio lo halló en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulación «pienso, luego existo».

El método cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar sus elementos básicos, las ideas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas.  Los ensayos científicos que seguían, ofrecían un compendio de sus teorías físicas, entre las que destaca su formulación de la ley de inercia y una especificación de su método para las matemáticas.

Los fundamentos de su física mecanicista, que hacía de la extensión la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situó en la metafísica que expuso en 1641. Pronto su filosofía empezó a ser conocida y comenzó a hacerse famoso, lo cual le acarreó amenazas de persecución religiosa por parte de algunas autoridades académicas y eclesiásticas, tanto en los Países Bajos como en Francia.

En 1649 se desplazó a Estocolmo donde murió cinco meses después de su llegada a consecuencia de una neumonía. Descartes es considerado como el iniciador de la filosofía racionalista moderna por su planteamiento y resolución del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de éste, y como el filósofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolástica.

La Geometria Analitica

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no—hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss.